LÓGICA.
II CLASE
«-Sospecho que intentas desanimarme. Puesto que los conozco, me parece difícil creer que cualquiera de los dos sea el asesino, aunque he intentado dejar a un lado mis opiniones subjetivas y ceñirme a la lógica. Anoche, antes de dormirme, hice una lista con todos los… -No hay nada mejor que la lógica para combatir el insomnio. Se parece a...-no concluí la frase.» (Dashiell Hammett. El hombre delgado)
«-Me asombra, Holmes -señalé mientras me alejaba de la ventana soleada, ya sin esperanzas-. ¡Conque un filósofo matemático! No tenía la menor idea de que sus intereses incluyeran este tipo de cosas. Yo mismo le he oído muchas veces referirse a ellas como sandeces sin sentid. -El siglo veinte es una nueva era -dijo Holmes-. Nuevas ideas surgen de las mejores mentes de esta época y nuestros científicos y filósofos de Cambridge están a la cabeza. ¿No ha oído usted hablar de la escisión del átomo por un individuo llamado Rutherford? Y Russell, junto con su compañero Whitehead, ha publicado recientemente un trabajo en el que han escindido, por así decirlo, algo mucho más difícil: nuestro sistema numérico en pequeñas partículas de pura lógica. Han consumido unas doscientas páginas antes de llegar al número uno» (Randall Collins. DR. J.H. Watson. El caso del anillo de los filósofos)
«-(Bebiendo cerveza)¡Por la lógica!, el origen y la solución de todos nuestros problemas» (Homer Simpson. En el texto original dice "por la cerveza", pero creo que también suscribiría esto.)
RAZONEMOS UN POCO
¿Crees que un hombre puede casarse con la hermana de su viuda?
Tomando las siguientes premisas intenten vuesas mercedes resolver estos enigmas lógicos:
a) Los caballeros siempre dicen la verdad
b) Los escuderos siempre mienten
Primer caso: Hay dos individuos, A y B, cada uno de los cuales es caballero o escudero. A dice :"Uno al menos de nosotros es escudero". ¿Qué son A y B? Segundo caso: Supóngase que A dice ," O yo soy escudero o B es un caballero". ¿Qué son A y B? Tercer caso: Supóngase que A dice "yo soy escudero, pero B no lo es". ¿Qué son A y B? Cuarto caso: Ahora tenemos a tres personas, A, B, C, cada una de las cuales es caballero o escudero. A y B dicen lo siguiente:
A: Todos nosotros somos escuderos
B: Uno de nosotros, y sólo uno es un caballero
¿Qué son A, B y C ?

La situación ha cambiado, ahora el malvado rey del país de la lógica propone un nuevo juego donde te la juegas de verdad. Te colocarán en una habitación donde hay dos puertas con unos letreros, en dichas puertas puede haber o una dama (las chicas pueden, si lo prefieren, cambiar la dama por un guapo mozetón) o un tigre. Salvar la vida o ir de juerga depende de tu capacidad lógica para leer e interpretar correctamente los carteles de las puertas.
Prueba Nº 1
Puerta I
En esta habitación hay una dama, y en la otra un tigre


Puerta II
En una de estas habitaciones hay una dama, y en una de estas habitaciones hay un tigre
-¿Es verdad lo que dicen los letreros? – preguntaste
-Uno de ellos dice la verdad -te contestó el rey-, pero el otro no.
¿Qué puerta debes abrirás suponiendo, por supuesto, que prefieras a la dama, o al apuesto galán?
Prueba Nº 2
Puerta I
Al menos en una de estas habitaciones hay una dama
Puerta II
Hay un tigre en la otra habitación
-¿Es verdad lo que dicen los letreros?-O bien los dos dicen la verdad, o bien los dos mienten.
(Estos y otros divertimentos lógicos los podéis encontrar en los libros de Smullyan citados en la bibliografía)


DEFINICIÓN DE LÓGICA
Siguiendo a Alfredo Deaño[1] la lógica es la «ciencia que estudia la validez formal de las inferencias». Para comprender esta definición necesitamos entender qué es una inferencia y qué se entiende por ‘validez formal’.
Inferencia. Una inferencia es, de forma intuitiva, un razonamiento o una argumentación. Lo característico de esta forma pensamiento es que en él pasamos de un conjunto de afirmaciones a las que denominamos premisas a otra afirmación a la que llamamos conclusión.
La validez de un razonamiento es independiente de la verdad o falsedad de sus premisas. Lo fundamental es comprender que para que un razonamiento sea válido (formalmente válido), no puede darse el caso que si sus premisas son verdaderas, la conclusión sea falsa.
La lógica únicamente se preocupa de los esquemas de razonamiento, y para eso, la lógica toma la forma de una ciencia deductiva. Como en cualquier otra ciencia, la lógica es un sistema de enunciados, con la peculiaridad, en este caso, de que los enunciados se encuentran deductivamente ligados formando un cálculo o un sistema de cálculo.
Un sistema de cálculo se compone de los siguientes elementos:
1. Un conjunto de elementos primitivos (símbolos elementales) que constituyen las herramientas básicas con las que se construye el sistema.
2. Un conjunto de reglas (reglas de formación) Mediante estas reglas podemos realizar las combinaciones correctas de símbolos elementales. Gracias a este conjunto de reglas podemos determinar cuando una expresión pertenece al sistema de cálculo. Aquellas expresiones que estén bien construidas pertenecerán al sistema.
3. Un conjunto de reglas de transformación que nos permiten transformar una expresión bien construida de símbolos en otra expresión que estará también bien construida.
Todo sistema de cálculo se tiene un carácter autárquico, esto quiere decir que son sistemas que sólo refieren a sí mismos y no tienen nada que ver con el mundo real o con algo ajeno a ellos.
LÓGICA DE PROPOSICIONES
La base del cálculo lógico son los enunciados o proposiciones. El sistema de cálculo divide el lenguaje en dos elementos básicos:
Oraciones
Conjunciones, elementos del sistema que sirven para enlazar oraciones simples y formar oraciones compuestas
Así que lo que tenemos es por un lado oraciones, y por otro, elementos que nos permiten formar estructuras más complejas a partir de la unión de oraciones.
Lo característico de la Lógica de Proposiciones es que no analiza el interior de éstas, su análisis, lo que es relevante desde el punto de vista lógico de la lógica de proposiciones es la oración tomada como un todo, sin adentrarnos en los elementos que las componen. En otros términos también se dice que la lógica de proposiciones sólo está interesada en la forma de las oraciones. Veamos un ejemplo:
Si Ulises fue el rey de Ítaca Y Homero no dice que el rey de Ítaca fue el responsable de la caída de Troya Entonces, Ulises fue el responsable de la caída de Troya
Desde un punto de vista lógico la forma lógica de este razonamiento sería:
Si…, y…, entonces…
Para poder expresar inferencias si tener que comprometerse con un contenido concreto, esto es, buscando exclusivamente la forma lógica de la inferencia, en lógica se van a usar unos signos a los que se denominan ‘variables’, y dado la lógica de proposiciones sólo se ocupa de enunciados, estas variables serán variables enunciativas o proposicionales. Las variables proposicionales son signos, previamente especificados del sistema, que hacen las veces u ocupan el lugar de un enunciado en una inferencia. Los signos que sustituyen a los enunciados en el sistema de cálculo lógico se forman con las últimas letras del abecedario, a partir de la letra ‘p’.
‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, ‘t’, ‘u’, ‘v’, ‘x’, ‘y’, ‘z’ son todas variables enunciativas.
Valores de verdad
Toda variable puede tener dos valores de verdad, o dicho de otra manera, en el sistema lógico que vamos a estudiar, toda oración tiene dos valores de verdad; o es verdadera o es falsa. Para expresar la verdad o falsedad de una oración vamos a utilizar la siguiente convención:
‘1’ significará que la oración es verdadera y ‘0’ que la oración es falsa
De modo que una oración ‘p’ podrá tener sólo dos valores de verdad, y eso lo expresamos de la siguiente manera:
Si en lugar de una variable tomamos dos ‘p’ y ‘q’ y combinamos sus valores de verdad posibles obtendremos la siguiente tabla:
Si tuviésemos tres variables, entonces tendríamos ocho posibilidades:
En general, dado un número n de variables, o de enunciados, el número de combinaciones posibles de sus valores de verdad sería 2n
Además de los signos que nos permiten identificar enunciados, existen un segundo tipo de signos que posibilitan la formación de estructuras más complejas mediante conexiones entre oraciones simples.
Las conextivas
a) El Negador (¬)
Dado un enunciado p, podemos formar su negación superponiendo en el parte superior izquierda de la variable el signo de la negación: ¬p que se leerá ‘no p’. Su tabla de verdad es:
p
¬p
1
0
0
1
b) El conjuntor (Ù)
La unión de dos letras enunciativas mediante le símbolo de la conjunción permite construir enunciados moleculares (enunciados cuyos componentes son enunciados). Si tenemos dos variables enunciativas ‘p’ y ‘q’ podemos formar la oración ‘p ^ q’. Para construir la tabla de verdad de una conjunción hay que tener en cuenta que la conjunción es verdadera sólo cuando son verdaderas las variables que la componen.
p
q
p Ù q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
La forma lógica de un enunciado como ‘voy a casa y veré la película’ será:
p Ù q
Donde ‘p’ es la letra enunciativa de la oración “voy a casa” y ‘q’ es la letra enunciativa que se corresponde con la oración “veré la película”.
c). El disyuntor .
El símbolo lógico de la disyunción es «Ú» y se puede traducir, aunque de una forma parcial e incompleta, con la partícula del lenguaje natural «o». También se le denomina como el símbolo de la suma lógica.
Podemos entonces construir una disyunción a partir de dos variables enunciativas de la siguiente forma: pÚq
Con respecto a su valor de verdad, una disyunción es verdadera cuando al menos una de las proposiciones (variables enunciativas) lo es, y también, por supuesto, cuando ambas lo son.
Veamos la tabla de verdad de la oración “vienes o te quedas”
p
q
pÚq
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
d) El implicador o condicional.
El símbolo «®» es la formalización de la partícula del lenguaje ordinario «si…, entonces…» La expresión que se sitúa a la izquierda del símbolo lógico se le denomina antecedente y a la expresión que queda a la derecha consecuente. Una implicación será verdadera siempre que no se dé el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso; y falsa cuando sea ese el caso. Dicho de otra forma: sólo hay un caso en el que una implicación será falsa, y es cuando siendo su antecedente verdadero, el consecuente es falso. Veamos su tabla de verdad
p
q
p®q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
El caso 3 podría parecer extraño. Podíamos pensar que si el antecedente de una implicación es falso y el consecuente verdadero, la implicación no sería ni verdadera ni falsa, o que fuese falsa. Pero tenemos que recordar que estamos ante una lógica bivalente y esto implica que toda enunciado debe tener un valor de verdad. Por otro lado, lo que se quiere decir en ese caso es que el antecedente es una condición suficiente para determinar el valor de verdad de la implicación, pero no una condición necesaria. Es decir, el consecuente podría ser verdadero por otras razones que no aparecen implicadas en el condicional
f) El coimplicador o bicondicional.
El signo lógico que se corresponde con el bicondicional es ««». Mediante este signo, que se correspondería con la expresión “si y sólo si”, lo que queremos decir es que el antecedente es una condición suficiente y necesaria para que se de el consecuente. Pero si el antecedente es una condición necesaria y suficiente para que se dé el consecuente, entonces, si el consecuente se ha dado, también podemos inferir el consecuente.
Con respecto a su valor de verdad, un bicondicional es verdadero siempre que a) cuando son verdaderos tanto el antecedente como el consecuente; o b) cuando ambos son falsos.
p
q
p«q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Veamos la tabla de verdad de todos los signos lógicos
p
q
¬p
pÙq
pÚq
p®q
p«q
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
Podemos ahora empezar a realizar tablas de verdad de expresiones más complejas.
[(pÙq)Út]®(pÚt)
Paso 1: asignar valores de verdad a las variables enunciativas
p
q
t
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0

Hay que tener en cuenta que tenemos tres variables, y especialmente importante hacer bien la asignación de los valores de verdad al comienzo de la tabla
Paso 2: leer bien la fórmula y determinar que tipo de fórmula es. Vemos que se trata de un condicional, por lo que comenzaremos a realizar la asignación de valores al antecedente. Pero oh! Cielos, resulta que es una fórmula compuesta. Ante todo mucha calma, sólo tenemos que descomponerlo en una fórmula más simple.
p
q
t
pÙq
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0

La fórmula a la que tenemos que asignar valores es una conjunción, por lo que tendremos que recordar las condiciones que hacía verdadera a una conjunción.


Paso 3: Terminamos de completar la asignación de valores al antecedente de la fórmula principal. Para ello tenemos que componer la fórmula.
p
q
t
pÙq
(pÙq)Út
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0

La nueva fórmula es una disyunción. Ahora tendremos que recordar las condiciones que hace verdadera a una disyunción. Hay que tener en cuenta que debemos de comparar los valores de las columnas 3 y 4.


Paso 4: Ya tenemos resuelto el antecedente, ahora pasamos a leer el consecuente de la fórmula principal. De nuevo se trata de una fórmula molecular, en este caso una disyunción, pues nada a asignar los valores a la disyunción
p
q
t
pÙq
(pÙq)Út
pÚt
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0

Ahora tenemos que comparar los valores de las columnas 1 y 3


Paso 5: Una vez que tenemos asignados los valores al antecedente y al consecuente, podemos asignar los valores de verdad al condicional. Recordemos las condiciones que hacen verdadero y falso a un condicional.
p
q
t
pÙq
(pÙq)Út
pÚt
[(pÙq)Út]® (pÚt)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1

Para la asignación de valores tenemos que tener cuidado al comparar las columnas, en este caso 5 y 6, y hacerlo en el orden adecuado.


En función de sus valores de verdad las expresiones que pertenecen al cálculo lógico se dividen en:
Tautologías: En la expresiones tautológicas la última columna sólo contiene valores de verdad verdaderos (1).
Contradicciones: En este caso en la última columna sólo encontramos valores de verdad falsos (0)
Expresiones consistentes: Fórmulas que se caracterizan porque al desarrollar su tabla de verdad, en la última columna encontramos valores de verdad verdaderos y falsos.
Noción de fórmula.
Para definir qué es una fórmula o una expresión bien formada del cálculo es necesario definir previamente la noción de 'fórmula' o fórmula atómica. En el cálculo de la lógica proposicional (para una lógica de nivel superior sería necesario introducir nuevas cláusulas) una fórmula atómica se forma con una variable enunciativa, por ejemplo: p, q, p1, w2. Para componer fórmulas más complejas se siguen las siguientes reglas de formación:
R1: Una fórmula atómica es una fórmulaR2: Si A es una fórmula, entonces ¬A también lo esR3: Si A y B son fórmulas, entonces A Ù B, A Ú B, A ® B y A « B son fórmulasIntentemos ahora hacer las siguientes tablas de verdad
[(p Ù q) ® r] ® (p Ú r)
Para realizar la tabla de la última fórmula hay que tener en cuenta que lo que aparece negado en el consecuente del antecedente es una fórmula entera. En estos casos, lo que haremos será habilitar una columna para realizar elvalor de la fórmula como si no estuviese negada, y, posteriormente, en otra columna, invertir sus valores de verdad
(p Ù q) Ú (¬p Ù q)
[(p ® q) Ù (r Ú ¬p)] ® [p ® (q Ù r)]
[p ® ¬(q Ú r) Ù q] ® ¬p